MA-505: Análisis I
Guardado en:
| Autor: | |
|---|---|
| Formato: | texto |
| Fecha de Publicación: | 2017 |
| Descripción: | Este curso de análisis pretende ser una transición entre las materias de sucesiones y series, derivadas e integrales, vistas de modo algorítmico en cursos anteriores, y el estudio colectivo de los espacios de funciones integrables y distribuciones, en cursos posteriores. Se caracteriza por un mayor rigor en su desarrollo, aun cuando su temática sea menos amplia. El curso comienza con el estudio/repaso de algunos aspectos importantes de funciones de una variable real. Luego se abre al análisis en varias variables, con indicaciones de estructuras más generales (espacios métricos y espacios normados). Culmina con un examen de fenómenos de continuidad y convergencia en la presencia de ortogonalidad (espacios de Hilbert). TEMARIO: 1) Prolegómenos sobre análisis en la recta real: Los números reales R y números complejos C. Funciones continuas, valores intermedios. Sucesiones convergentes y sucesiones de Cauchy, la completitud de R. Convergencia uniforme, la prueba-M de Weierstrass para series de funciones. Polinomios de ernstein, aproximación de funciones continuas por polinomios. 2) Espacios métricos y su topología: Conjuntos abiertos y cerrados en Rn, vecindarios de un punto. Conjuntos compactos en Rn, el teorema de Heine y Borel. Espacios métricos en general, ejemplos. Espacios métricos completos, la compleción de un espacio métrico. Conjuntos conexos y conexos por caminos en Rn. 3) Espacios normados y espacios de funciones Normas en Rn, normas de funciones con valores reales o complejas, equivalencias entre normas. Series en un espacio normado, series absolutamente convergentes. Aplicaciones lineales y continuas entre espacios normados, extensiones de formas lineales. Diferenciación en espacios normados, la regla de la cadena. Espacios de funciones continuas y sus compleciones. El teorema de aproximación de Stone y Weierstrass. 4) Espacios de Hilbert y series de Fourier: Formas hermíticas definidas positivas, productos escalares. La igualdad de Parseval, bases ortonormales. Proyecciones ortogonales, el algoritmo de Gram y Schmidt. Los teoremas de representación de Riesz para los espacios de Hilbert y espacios de funciones continuas. Series de Fourier de funciones periódicas. Núcleos de Dirichlet y de Fejér, problemas de convergencia de las series de Fourier. |
| País: | Kérwá |
| Institución: | Universidad de Costa Rica |
| Repositorio: | Kérwá |
| OAI Identifier: | oai:kerwa.ucr.ac.cr:10669/75196 |
| Acceso en línea: | https://hdl.handle.net/10669/75196 |
| Palabra clave: | Matemáticas Enseñanza de las matemáticas |